The Black Swan ตอนที่ 9 – Bell Curve เจ้าปัญหา

20200627

Nassim Nicolas Taleb ผู้เขียนหนังสือ The Black Swan บอกว่าเหตุผลที่นักเศรษฐศาสตร์หรือโบรกเกอร์มักจะประเมินความเสี่ยงของเหตุการณ์รุนแรงได้ต่ำเกินไป เพราะพวกเขาคำนวณความน่าจะเป็นโดยใช้ bell curve หรือ normal distribution

วิธีสร้าง Bell Curve ด้วยตัวคุณเอง

เรามาโยนเหรียญเสี่ยงทายกันอีกครั้ง

ถ้าโยนเหรียญครั้งเดียว ผลลัพธ์มีได้ 2 แบบคือ หัว หรือ ก้อย

ถ้าโยนเหรียญ 2 ครั้ง ผลลัพธ์มีได้ 4 แบบ คือ ก้อย-ก้อย ก้อย-หัว หัว-ก้อย และ หัว-หัว

ถ้าโยน 3 ครั้ง ผลลัพธ์มีได้ 8 แบบ คือ
ก้อย-ก้อย-ก้อย
ก้อย-ก้อย-หัว
ก้อย-หัว-ก้อย
ก้อย-หัว-หัว
หัว-ก้อย-ก้อย
หัว-ก้อย-หัว
หัว-หัว-ก้อย
หัว-หัว-หัว

โอกาสเกิดก้อย 3 ครั้ง = 1/8
โอกาสเกิดก้อย 2 ครั้ง = 3/8
โอกาสเกิดหัว 2 ครั้ง = 3/8
โอกาสเกิดหัว 3 ครั้ง = 1/8

เราจะได้ bell curve แบบคร่าวๆ ที่มีความสูง 1/8 อยู่ริมซ้ายและขวา และความสูง 3/8 อยู่ตรงกลาง

ถ้าโยนเหรียญ 4 ครั้ง ก็มีผลลัพธ์ได้ 2 ยกกำลัง 4 หรือ 16 แบบ ถ้าเปรียบหัวเป็น 1 และก้อยเป็น 0 ก็จะได้ซีรี่ส์เป็นเลขฐานสองดังนี้

0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1

โอกาสเกิดหัว 4 ครั้ง = 1/16
โอกาสเกิดหัว 3 ครั้ง = 4/16
โอกาสเกิดหัว 2 ครั้ง = 6/16
โอกาสเกิดก้อย 3 ครั้ง = 4/16
โอกาสเกิดก้อย 4 ครั้ง = 1/16

ลองเอาไปพล็อต bell curve ก็จะได้กราฟที่ละเอียดมากขึ้น

ถ้าโยนเหรียญ 40 ครั้ง ก็มีผลลัพธ์ได้ 2 ยกกำลัง 40 หรือ 1 ล้านล้านแบบ และกราฟ bell curve ก็จะละเอียดมากขึ้นไปอีก โอกาสที่จะได้หัวทั้ง 40 ครั้งนั้นมีเพียง 1 ใน 1 ล้านล้าน

เมื่อเราโยนเหรียญเป็นจำนวนอนันต์ แล้วนำมาพล็อตเป็นกราฟ ก็จะได้ bell curve แบบที่เราคุ้นตากัน

แต่การจะได้ normal distribution อย่างนี้ได้ นั่นหมายความว่าการโยนได้หัวในรอบนี้ไม่ได้เพิ่มหรือลดโอกาสออกหัวในรอบถัดไป ซึ่งนี่เป็นสิ่งที่พบเจอในโลกคาสิโนหรือการเล่นเกมอย่างการโยนเหรียญ

แต่ในเกมแห่งชีวิตจริง หากเราชนะคราวนี้ เราก็มีโอกาสมากขึ้นที่จะชนะอีกในคราวหน้า การจะ “ชนะ” ติดต่อกัน 40 ครั้ง แม้จะเป็นไปได้ยาก แต่โอกาสเป็นไปได้ก็มากกว่า 1 ใน 1 ล้านล้านครั้ง

ที่ทางของ Bell Curve

กราฟระฆังคว่ำหรือ Bell Curve นั้นเหมาะสำหรับ Mediocristan ที่ค่าเฉลี่ยเป็นใหญ่

สมมติว่าส่วนสูงของคนเรามีค่าเฉลี่ย 1.67 เมตรและมี standard deviation 10 เซนติเมตร

โอกาสที่คนจะสูงกว่าค่าเฉลี่ย 10 เซ็น (1.77) = 1 ใน 6.3

โอกาสที่คนจะสูงกว่าค่าเฉลี่ย 20 เซ็น (1.87) = 1 ใน 44

โอกาสที่คนจะสูงกว่าค่าเฉลี่ย 30 เซ็น (1.97) = 1 ใน 740

โอกาสที่คนจะสูงกว่าค่าเฉลี่ย 40 เซ็น (2.07) = 1 ใน 32,000

โอกาสที่คนจะสูงกว่าค่าเฉลี่ย 50 เซ็น (2.17) = 1 ใน 3,500,000

โอกาสที่คนจะสูงกว่าค่าเฉลี่ย 60 เซ็น (2.27) = 1 ใน 1 พันล้าน

โอกาสที่คนจะสูงกว่าค่าเฉลี่ย 70 เซ็น (2.37) = 1 ใน 7 แสนแปดหมื่นล้าน

โอกาสที่คนจะสูงกว่าค่าเฉลี่ย 80 เซ็น (2.47) = 1 ใน 1600 ล้านล้าน

จะเห็นว่ายิ่งเราออกห่างจากค่าเฉลี่ย โอกาสก็ยิ่งดำดิ่งในอัตราเร่ง จาก 10 เซ็นไป 20 เซ็นโอกาสน้อยลงประมาณ 7 เท่า แต่จาก 50 เซ็นไป 60 เซ็น โอกาสน้อยลงถึง 300 เท่า และจาก 70 ไป 80 เซ็น โอกาสน้อยลงถึง 2000 เท่า

ในโลก Mediocristan สิ่งต่างๆ ไม่ได้ scalable มันไม่สามารถจะห่างจากค่าเฉลี่ยได้มากนัก

Distribution ในดินแดน Extremistan

คราวนี้ลองมาดูการกระจายตัวของความมั่งคั่งดูบ้าง ตัวเลขไม่ได้เป็นไปตามนี้เป๊ะๆ เป็นเพียง simplified version เพื่อให้ผู้อ่านเห็นภาพ

คนที่มีสินทรัพย์มากกว่า 1 ล้านยูโร = 1 ใน 62.5

คนที่มีสินทรัพย์มากกว่า 2 ล้านยูโร = 1 ใน 250

คนที่มีสินทรัพย์มากกว่า 4 ล้านยูโร = 1 ใน 1,000

คนที่มีสินทรัพย์มากกว่า 8 ล้านยูโร = 1 ใน 4,000

คนที่มีสินทรัพย์มากกว่า 16 ล้านยูโร = 1 ใน 16,000

คนที่มีสินทรัพย์มากกว่า 32 ล้านยูโร = 1 ใน 64,000

ในกรณีนี้ เมื่อสินทรัพย์เพิ่มขึ้นสองเท่า โอกาสจะน้อยลง 4 เท่า ไม่ว่าเราจะมองไปที่เงินกี่ล้านยูโรก็ตาม (ไม่มีอัตราเร่งของโอกาสที่น้อยลง)

การกระจายตัวแบบนี้ต้องใช้ Mandelbrotian distribution หรือ Power Law มาจับ ถ้าเราพยายามใช้ Bell Curve มาอธิบายการกระจายตัวของความมั่งคั่ง จะได้แบบนี้

คนที่มีสินทรัพย์มากกว่า 1 ล้านยูโร = 1 ใน 62.5

คนที่มีสินทรัพย์มากกว่า 2 ล้านยูโร = 1 ใน 127,000

คนที่มีสินทรัพย์มากกว่า 4 ล้านยูโร = 1 ใน 886,000 ล้านล้าน

คนที่มีสินทรัพย์มากกว่า 8 ล้านยูโร = 1 ใน 16,000 ล้านล้านล้านล้านล้าน

ซึ่งเห็นได้ชัดว่า bell curve ไม่ใช่เครื่องที่เหมาะสมในการอธิบายสิ่งที่ scalable อย่างความมั่งคั่งซึ่งอยู่ในโลกของ Extremistan

กล่าวโดยสรุปคือ ดินแดน Mediocristan เราใช้ bell curve ได้ แต่ถ้าเราเข้าสู่ Extremistan เมื่อไหร่ bell curve จะเป็นเครื่องมือที่ไม่ได้เรื่อง

ถ้าผมบอกว่า คนสองคนความสูงรวมกัน 4 เมตร ความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้มากที่สุดคือสูงคนละ 2 เมตร (normal distribution, ค่าเฉลี่ยคือพระเอก) คงไม่มีใครทายว่าคนหนึ่งสูง 3.5 เมตรและอีกคนสูง 50 เซ็น

แต่ถ้าผมบอกว่า นักเขียนสองคนมียอดขายหนังสือรวม 1,000,000 เล่ม โอกาสที่แต่ละคนจะขายได้ 500,000 เล่มนั้นน้อยกว่าโอกาสที่คนหนึ่งขายได้ 990,000 เล่มและอีกคนขายได้เพียง 10,000 เล่ม (mandelbrotian distribution, ค่าสุดโต่งคือพระเอก)

ใน Extremistan เราต้องมองไปที่ Power Law หรือที่บางคนอาจรู้จักในชื่อของ กฎ 80/20 หรือ Pareto Principle นั่นเอง

ใน Extremistan เราใช้ Power Law และเราสามารถใช้ค่า exponent ในการคาดคะเนความน่าจะเป็นได้

ในปี 2006 มีหนังสือที่ขายได้มากกว่า 250,000 เล่มอยู่ 96 ปก

ถ้าสมมติว่าค่า exponent คือ 1.5 การจะคำนวณว่าหนังสือที่ขายได้เกิน 500,000 เล่มมีอยู่กี่ปกทำได้ดังนี้

(500,000/250,000)^(-1.5) x 96 = 34 ปก

ถ้าอยากจะหาว่าหนังสือที่ขายได้เกิน 1,000,000 เล่มมีอยู่กี่ปก ให้เอา

(1,000,000/250,000)^(-1.5) x 96 = 12 ปก

ค่า Exponenent 1.5 นั้นได้มาโดยการลองผิดลองถูก โดยเราต้องลองเดาค่าใดค่าหนึ่งขึ้นมาก่อน แล้วเอาค่าเหล่านี้ไปใส่ในการคำนวณเพื่อดูว่ามันผลิตผลลัพธ์ออกมาได้สอดคล้องกับความเป็นจริงรึเปล่า

ตัวเลขเหล่านี้ไม่ได้ให้ผลลัพธ์ที่เป๊ะๆ แต่อย่างน้อยมันก็จะทำให้เรามีไอเดียว่าโอกาสที่จะเกิดผลลัพธ์ที่ Extreme นั้นมีมาก-น้อยแค่ไหน ซึ่งมันสามารถทำนายได้ดีกว่า bell curve มากมายนัก

ตามหาหงส์เทา

ความประสงค์ของหนังสือเล่มนี้ คือการลดความเสี่ยงที่เราจะเจอ Black Swans หรือเหตุการณ์ไม่คาดฝัน

ถ้าเราใช้แต่ normal distribution ซึ่งเหมาะกับ Mediocristan เท่านั้น เราก็จะประเมินความเสี่ยงใน Extremistan ผิดไป เราจำเป็นต้องใช้อีกเครื่องมือหนึ่ง นั่นคือ Mandelbrotian distribution ที่อ้างอิงกับ Power Law ซึ่งจะช่วยให้เราไม่ประมาทเกินไป

หากเรารู้ก่อนว่าตลาดหุ้นอาจจะมีสิทธิ์ crash ในปี 1987 ก็แสดงว่าเหตุการณ์ crash นั้นไม่ใช่ Black Swan และถ้าเรารู้ว่า biotech อาจผลิตยาที่จะขายดิบขายดีเป็นเทน้ำเทท่า และขายดีกว่ายาทุกตัวในประวัติศาสตร์ เราก็จะไม่แปลกใจหากเจอเหตุการณ์เช่นนั้น และอาจซื้อหุ้นของบริษัทนี้เอาไว้ล่วงหน้า

การประเมินความเสี่ยงแบบ Mandelbrotian จะทำให้ Black Swans บางตัวกลายเป็น Grey Swans หรือเหตุการณ์รุนแรงที่พอคาดเดาได้

แม้จะจับหงส์ดำไม่ได้ จับหงส์เทาได้ก็ยังดี


ขอบคุณข้อมูลจากหนังสือ The Black Swan – The Impact of the Highly Improbable โดย Nassim Nicolas Taleb

The Black Swan ตอนที่ 1 – โควิดเป็นหงส์ดำรึเปล่า
The Black Swan ตอนที่ 2 – ความเปราะบางของความรู้
The Black Swan ตอนที่ 3 – ไก่งวงหน้าโง่
The Black Swan ตอนที่ 4 – อันตรายของ “story”
The Black Swan ตอนที่ 5 – หลักฐานอันเงียบงัน
The Black Swan ตอนที่ 6 – โยนเหรียญเสี่ยงทาย
The Black Swan ตอนที่ 7 – บิลเลียดสุดขอบจักรวาล
The Black Swan ตอนที่ 8 – ยุทธการ Barbell

สรุปหนังสือ Sapiens – A Brief History of Humankind by Yuval Noah Harari (20 ตอน)

สรุปหนังสือ Brave New Work by Aaron Dignan (15 ตอน)

“ช้างกูอยู่ไหน” หนังสือเล่มใหม่ของผมที่ว่าด้วยการค้นหาสิ่งที่สำคัญกับเราอย่างแท้จริง มีขายที่ whatisitpress.com ครับ อ่านรายละเอียดได้ที่ bit.ly/eitrfacebook และอ่านรีวิวได้ที่นี่ครับ markpeak.net/elephant-in-the-room/